Térgeometria (Bolyai János)

Bolyai János (Kolozsvár, 1802. december 15. – Marosvásárhely, 1860. január 27.) az egyik leghíresebb magyar matematikus, a „geometria Kopernikusza,” „az erdélyi tudományosság legkiemelkedőbb képviselője.” 1831-ben megjelent Appendix című művével megalkotta a nemeuklideszi geometriát, amelyek nélkülözhetetlen alapot jelentettek a XX. század fizikai elméletei számára. Ő maga is szorgalmazta egy nemeuklidészi alapokra helyezett mechanika kidolgozását, azaz „majdnem egy évszázaddal Einstein előtt megfogalmazta Einstein gravitációértelmezésének a célkitűzését.” A komplex számok, a számelmélet, illetve az algebrai egyenletek témakörében folytatott kutatásai kéziratban maradtak ugyan, és csak jóval később kezdődött meg feldolgozásuk, azonban mai szemmel nézve is igen figyelemre méltóak.1820 és 1823 között dolgozta ki és írta meg korszakalkotó felfedezését: a nemeuklideszi geometriát, amelyet abszolút, illetve hiperbolikus geometriának neveztek neves kortársai. Ő maga így fogalmazta meg felfedezését, melyet apjának írt egy levelében: „semmiből egy új, más világot teremtettem” (1823). 1826-ban katonai parancsnokának, Johann Wolter von Eckwehr századosnak, átadott egy kéziratot, amely nemeuklideszi geometriai vizsgálatainak összefoglalását tartalmazta, azonban ennek a kéziratnak nyoma veszett. Tudományos felfedezése végül 1832-ben Appendix címen apja Tentamen-je első kötetének függelékeként jelent meg, melyet francia és német nyelvre fordítottak le.

A szakirodalom Bolyai–Lobacsevszkij-féle geometriának nevezi a párhuzamossági axióma tagadásán alapuló geometriákat. Az orosz Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij ugyanis Bolyaitól függetlenül jutott ugyanerre a felfedezésre. A róluk sokáig folytatott elsőbbségi vita azonban nemcsak ezért nem dönthető el, hanem mert Bolyai a hiperbolikus geometriánál általánosabb abszolút geometriai vizsgálatokat is folytatott, míg Lobacsevszkij – némileg előbb ugyan, mint Bolyai – pusztán hiperbolikus geometriával foglalkozott. Míg Lobacsevszkij a párhuzamossági axióma tagadásán alapuló geometriai rendszert épített fel, Bolyai olyan tételeket keresett, amelyek az axióma igaz vagy hamis voltától függetlenül bizonyíthatóak. Az 1860-as és 70-es években Arthur Cayley és Felix Klein kimutatta az alapvető összefüggéseket az euklidészi, nemeuklidészi és projektív geometria között, megadva ezzel Bolyai és Lobacsevszkij elméletének a teljes elismerést.

1831-ben Bolyai Farkas fia kérésére elküldte Gaussnak az Appendixben leírt nagy felfedezést, de a levél – talán a kolerajárvány miatt – elkallódott, így csak a következő, 1832-es levél jutott el a címzetthez. Gauss nagyon szűkszavú volt a dicsérettel. Ami a legfájóbb volt, azt közölte a levelében, hogy ha megdicsérné Bolyait, akkor önmagát dicsérné, mivel ő is erre a felismerésre jutott, de nem volt bátorsága azt papírra vetni. Gaussban valóban felmerült a nemeuklidészi geometria gondolata, ezt a hagyatékában talált iratok, illetve levelei bizonyítják, azonban külön megkérte a címzetteket, hogy elgondolásait tartsák titokban.

Bolyai János 1850-ben elkezdte egy axiómákra alapozott geometriai rendszer kidolgozását, de a Raumlehre (Tértan) című német nyelvű kézirat befejezetlen maradt. Ebben Bolyai a fél évszázaddal később megszülető topológia alapjait rakta le.

A komplex számokról írott műve, a Responsio (1837) a lipcsei Jablonowszky Társaság pályázatára készült, amelyre (a szintén pályázó) Bolyai Farkas hívta fel figyelmét. Az általa elegynyi vagy elegyes számnévvel illetett komplex számokat, a kortárs Hamiltonhoz hasonlóan rendezett valós számpárként fogta fel; a komplex számok mértani alkalmazását illetően visszautalt az Appendix-ben kifejtett geometriájára, amelyet a bírálók nem ismertek. Az elmélet szokatlansága és a pályázat vázlatos kidolgozása miatt a bírálók nem értékelték a művet érdemének megfelelően. Bolyait lesújtotta ugyan a sikertelenség, ennek ellenére tovább foglalkozott a komplex számokkal. Az volt a célja, hogy a számelmélet egyes fogalmait és tételeit a komplex számokra is kiterjessze, foglalkozott többek között a komplex számok kongruenciájával is.

Számelméleti kutatásainak legfontosabb eredménye, hogy a kis Fermat-tétel bizonyításával próbálkozva, rátalált az első álprímszámra (341); ez volt a példa, amely a tétel fordítottjának hamisságát igazolta. További ellenpéldákat keresve, megalkotta azt a módszert, amelyet ma Jeans tétele néven ismernek. Új bizonyítást keresett Fermat karácsonyi tételére, és hármat is talált, mindegyik egyszerűbb volt, mint Euleré.

Noha Bolyai elsősorban a geometria terén kifejtett munkássága miatt híres, sokat foglalkozott az algebrai egyenletek elméletével is. Éveken át dolgozott a négynél magasabb fokú egyenletek megoldásával, mivel a tudományos élettől távol, vidéki elszigeteltségében Abel és Galois munkái nem jutottak tudomására. Két töredékes kéziratában ő is arra az eredményre jutott, hogy a négynél magasabb fokú általános algebrai egyenleteknek nincs megoldó képlete.

Forrás: Wikipédia